gostei muito da realização desse trabalho solicitado pela professora Solange na disciplina de Matematica. para mim faltou mais oportunidades para acessar os outros blogs dos meus colegas, mais enfim fiz o que eu pude espero que consigo uma boa nota e que Solange também reconheça o meu esforço.
um abraço a todos e até o ano que vem,fui...
Dany Moreira
quarta-feira, 30 de novembro de 2011
terça-feira, 29 de novembro de 2011
Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.
Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.
Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.por gabriela andrade 2 "a"
o cociente e uma icognita
"Às folhas tantas do livro de matemática, um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base. Uma figura ímpar olhos rombóides, boca trapezóide, corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito. "Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical. "Eu sou a soma dos quadrados dos catetos, mas pode me chamar de hipotenusa". E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética, corresponde a almas irmãs, primos entre-si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas senoidais. Nos jardins da quarta dimensão, escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas e os exegetas do universo finito. Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim, resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar, uma perpendicular. Convidaram os padrinhos: o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro, sonhando com uma felicicdade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia. Foi então que surgiu o máximo divisor comum, frequentador de círculos concêntricos viciosos, ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema, ele era a fração mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade, como, aliás, em qualquer Sociedade ..." Millôr Fernandes por gabriela andrade 2a | |
segunda-feira, 28 de novembro de 2011
Exercícios de matemática - Questão 03
A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m. Se, mais tarde a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
Por: Janaína Amorim
Exercícios de matemática - Questão 02
Há uma lenda que diz que um rei perguntou ao inventor do jogo de xadrez o que ele queria como recompensa por ter inventado esse jogo. E o inventor respondeu: "1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela quinta, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade a cada nova casa".
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o inventor pediu a soma dos primeiros 64 termos da PG: 1,2,4,8,16,32,..., de razão q=2.
Sn= a1.1-q (elevado n) /1-q = 1.1-2(elevado 64) /1-2 = 2(elevado 64) -1
Fazendo esse cálculo, encontraremos o gigantesco número de vinte algarismos: 18 446 744 073 709 551 615.
Coitado do rei! Será que ele teria uma superfície de trigo com esse número de grão?
Será que alguém sabe como se lê esse número?
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o inventor pediu a soma dos primeiros 64 termos da PG: 1,2,4,8,16,32,..., de razão q=2.
Sn= a1.1-q (elevado n) /1-q = 1.1-2(elevado 64) /1-2 = 2(elevado 64) -1
Fazendo esse cálculo, encontraremos o gigantesco número de vinte algarismos: 18 446 744 073 709 551 615.
Coitado do rei! Será que ele teria uma superfície de trigo com esse número de grão?
Será que alguém sabe como se lê esse número?
Por: Janaína Amorim
Exercícios de matemática - Questão 01
Para obter a soma 1+2+3+4+... +98+99+100, o matemático chamado Karl F. Gauss observou que 1+100=101; 2+99=101; etc., num total de 50 vezes. Obteve desse modo o resultado 5050, caculando 50.101=101; utilizando um processo análogo, descubra o produto dos termos da seguinte PG finita: (2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024).
Por: janaína Amorim
segunda-feira, 14 de novembro de 2011
Questões de matemática
1ª) Uma torneira enche um tanque em 3 horas e uma segunda torneira pode fazer em 15 horas. Qual será o tempo necessário para encher 2/3 do reservatório se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente?
2ª) Num acampamento avançado, 30 soldados dispôem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?
3ª) Uma pesquisa realizada na Grã-Bretanha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 doentes cardíacos precisaram de transplantes, mas só 131 conseguiram doadores. O percentual aproximado de doentes que não conseguiram transplantes é:
a) 31%
b) 36%
c) 44%
d) 56%
e) 64%
4ª) Se x/4, y/8, z/12 e x+y+z = 72, o valor de x é:
a) 24
b) 28
c) 30
d) 32
e) 36
5ª) Dividindo 190 em partes proporcionais a 2,7 e 10, qual a maior parte obtida?
a) 70
b) 80
c) 90
d) 100
e) 110
6ª) Um lote de processos deve ser dividido entre os funcionários de uma seção para serem arquivados. Se cada funcionário arquivar 16 processos, restarão 8 a serem arquivados. Entretanto, se cada um arquivar 14 processos, sobrarão 32. O número de processos é:
a) 186
b) 190
c) 192
d) 194
e) 200
2ª) Num acampamento avançado, 30 soldados dispôem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?
3ª) Uma pesquisa realizada na Grã-Bretanha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 doentes cardíacos precisaram de transplantes, mas só 131 conseguiram doadores. O percentual aproximado de doentes que não conseguiram transplantes é:
a) 31%
b) 36%
c) 44%
d) 56%
e) 64%
4ª) Se x/4, y/8, z/12 e x+y+z = 72, o valor de x é:
a) 24
b) 28
c) 30
d) 32
e) 36
5ª) Dividindo 190 em partes proporcionais a 2,7 e 10, qual a maior parte obtida?
a) 70
b) 80
c) 90
d) 100
e) 110
6ª) Um lote de processos deve ser dividido entre os funcionários de uma seção para serem arquivados. Se cada funcionário arquivar 16 processos, restarão 8 a serem arquivados. Entretanto, se cada um arquivar 14 processos, sobrarão 32. O número de processos é:
a) 186
b) 190
c) 192
d) 194
e) 200
Por: Daniela Moreira
TEXTO: MATEMÁTICA
Matemática é a área de conhecimento humano que nos permite resolver problemas aparentemente insolúveis.
"Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa, um dia, vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real."
Muitos problemas que as pessoas enfrentam diariamente, relacionados intimamente com a vida humana (filas, tráfego de carros, engenharia, genética, computadores) tem sido resolvidos pelo uso crescente da matemática e de seus métodos.
A evolução da humanidade não poderia estar dissociada do desenvolvimento da matemática, pois, desde os tempos babilônicos até os dias atuais, tem sido fundamental o papel dessa ciência em todas as manifestações científicas, artísticas e econômicas que, consequentemente, provocaram transformações políticas e sociais.
Por estar presente tanto nos acontecimentos que mudaram o curso da história, como nos do dia-a-dia, auxiliando na solução de problemas práticos, a matemática fez o homem evoluir e evoluiu com ele.
O impulso dado ao desenvolvimento da ciência e da tecnologia, através de uma educação científica e humanística, teve como base a inestimável contribuição da matemática.
"Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa, um dia, vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real."
Muitos problemas que as pessoas enfrentam diariamente, relacionados intimamente com a vida humana (filas, tráfego de carros, engenharia, genética, computadores) tem sido resolvidos pelo uso crescente da matemática e de seus métodos.
A evolução da humanidade não poderia estar dissociada do desenvolvimento da matemática, pois, desde os tempos babilônicos até os dias atuais, tem sido fundamental o papel dessa ciência em todas as manifestações científicas, artísticas e econômicas que, consequentemente, provocaram transformações políticas e sociais.
Por estar presente tanto nos acontecimentos que mudaram o curso da história, como nos do dia-a-dia, auxiliando na solução de problemas práticos, a matemática fez o homem evoluir e evoluiu com ele.
O impulso dado ao desenvolvimento da ciência e da tecnologia, através de uma educação científica e humanística, teve como base a inestimável contribuição da matemática.
Daniela Moreira
quinta-feira, 10 de novembro de 2011
quinta-feira, 6 de outubro de 2011
Tragédia Matemática
Num certo livro de Matemática, um quociente apaixonou-se por uma incógnita.
Ele, o quociente, produto de notável família de importantíssimos polinômios.
Ela, uma simples incógnita, de mesquinha equação literal. Oh! Que tremenda desigualdade. Mas como todos sabem, o amor não tem limites e vai do mais infinito ao menos infinito.
Apaixonado, o quociente a olhou do vértice à base, sob todos os ângulos, agudos e obtusos. Era linda, uma figura ímpar e punha-se em evidência: olhar rombóide, boca trapezóide, seios esféricos num corpo cilíndrico de linhas senoidais.
- Quem és tu? Perguntou o quociente com olhar radical.
- Eu sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos, mas pode me chamar de Hipotenusa. Respondeu ela com expressão algébrica de quem ama.
Ele fez de sua vida uma paralela à dela, até que se encontraram no infinito. E se amaram ao quadrado da velocidade da luz, traçando ao sabor do momento e da paixão, retas e curvas nos jardins da quarta dimensão. Ele a amava e a recíproca era verdadeira. Se adoravam nas mesmas razões e proporções no intervalo aberto da vida.
Três quadrantes depois, resolveram se casar. Traçaram planos para o futuro e todos desejaram felicidade integral. Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz.
Tudo estava nos eixos. O amor crescia em progressão geométrica. Quando ela estava em suas coordenadas positivas, tiveram um par: o menino, em honra ao padrinho, chamaram de Versor; a menina, uma linda Abscissa. Ela sofreu duas operações.
Eram felizes até que, um dia, tudo se tornou uma constante. Foi aí que surgiu um outro. Sim, um outro. O máximo divisor comum, um freqüentador de círculos viciosos. O mínimo que o máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta.
Ela sentiu-se imprópria, mas amava o Máximo. Sabedor desta regra de três, o quociente chamou-a de fração ordinária. Sentiu-se um denominador comum, resolveu aplicar a solução trivial: um ponto de descontinuidade na vida deles.
Quando os dois amantes estavam em colóquio amoroso, ele em termos menores e ela de combinação linear, chegou o quociente e num giro determinante, disparou o seu 45.
Ela foi transformada numa simples dízima periódica e foi para o espaço imaginário e ele foi parar num intervalo fechado, onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas.
Ele, o quociente, produto de notável família de importantíssimos polinômios.
Ela, uma simples incógnita, de mesquinha equação literal. Oh! Que tremenda desigualdade. Mas como todos sabem, o amor não tem limites e vai do mais infinito ao menos infinito.
Apaixonado, o quociente a olhou do vértice à base, sob todos os ângulos, agudos e obtusos. Era linda, uma figura ímpar e punha-se em evidência: olhar rombóide, boca trapezóide, seios esféricos num corpo cilíndrico de linhas senoidais.
- Quem és tu? Perguntou o quociente com olhar radical.
- Eu sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos, mas pode me chamar de Hipotenusa. Respondeu ela com expressão algébrica de quem ama.
Ele fez de sua vida uma paralela à dela, até que se encontraram no infinito. E se amaram ao quadrado da velocidade da luz, traçando ao sabor do momento e da paixão, retas e curvas nos jardins da quarta dimensão. Ele a amava e a recíproca era verdadeira. Se adoravam nas mesmas razões e proporções no intervalo aberto da vida.
Três quadrantes depois, resolveram se casar. Traçaram planos para o futuro e todos desejaram felicidade integral. Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz.
Tudo estava nos eixos. O amor crescia em progressão geométrica. Quando ela estava em suas coordenadas positivas, tiveram um par: o menino, em honra ao padrinho, chamaram de Versor; a menina, uma linda Abscissa. Ela sofreu duas operações.
Eram felizes até que, um dia, tudo se tornou uma constante. Foi aí que surgiu um outro. Sim, um outro. O máximo divisor comum, um freqüentador de círculos viciosos. O mínimo que o máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta.
Ela sentiu-se imprópria, mas amava o Máximo. Sabedor desta regra de três, o quociente chamou-a de fração ordinária. Sentiu-se um denominador comum, resolveu aplicar a solução trivial: um ponto de descontinuidade na vida deles.
Quando os dois amantes estavam em colóquio amoroso, ele em termos menores e ela de combinação linear, chegou o quociente e num giro determinante, disparou o seu 45.
Ela foi transformada numa simples dízima periódica e foi para o espaço imaginário e ele foi parar num intervalo fechado, onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas.
Tabuada
A que eu acho muito legal, é a tabuada do 9, que vc começa a fazer ela com o 0 e termina com o 9 e depois de traz pra frente começa pelo 9 e termina com o 0 que da o resultado da tabuada.
9x1 = 0 9
9x2 = 1 8
9x3 = 2 7
9x4 = 3 6
9x5 = 4 5
9x6 = 5 4
9x7 = 6 3
9x8 = 7 2
9x9 = 8 1
9x10= 9 0
9x1 = 0 9
9x2 = 1 8
9x3 = 2 7
9x4 = 3 6
9x5 = 4 5
9x6 = 5 4
9x7 = 6 3
9x8 = 7 2
9x9 = 8 1
9x10= 9 0
CHARADAS
Na palavra "NAMORO", por que o "N" e o segundo "O", apesar de separados, acham-se profundamente ligados?
POR GABRIELA 2A
POR GABRIELA 2A
No Boteco
Rafael entra num boteco, pede uma cerveja, e inicia uma conversa com o dono.
Após algumas perguntas, ele descobre que o dono do boteco tem três filhos:
- Que idades eles têm? - pergunta Rafael.
- Bem! - responde o senhor - A idade deles somada dá 13.
Rafael fica pensativo e depois diz que isso não é o suficiente para se saber as idades.
O dono do boteco então informa que a idade deles multiplicada é igual ao número do recinto.
Rafael dirige-se até a entrada, observa o número, calcula e volta desanimado:
- Mesmo assim não dá para saber...
O dono do boteco abriu um sorriso e disse:
- O meu filho mais velho adora cachorro-quente...
Após algumas perguntas, ele descobre que o dono do boteco tem três filhos:
- Que idades eles têm? - pergunta Rafael.
- Bem! - responde o senhor - A idade deles somada dá 13.
Rafael fica pensativo e depois diz que isso não é o suficiente para se saber as idades.
O dono do boteco então informa que a idade deles multiplicada é igual ao número do recinto.
Rafael dirige-se até a entrada, observa o número, calcula e volta desanimado:
- Mesmo assim não dá para saber...
O dono do boteco abriu um sorriso e disse:
- O meu filho mais velho adora cachorro-quente...
Resposta: Isaias: Isa-ias
Resposta: a letra “a”
Resposta: as formigas
Resposta: a rede
Resposta: a balança
Resposta: porque vivem fora de si.
Resposta: caldo
Resposta: as gotas da chuva
Resposta: porque não pode passar por baixo
Resposta: alho
Resposta: bule
Resposta: em ambas mexemos com as cadeiras
Resposta: eu que tiro a roupa e você é quem fica vermelha?
Resposta: deixa de onda...
Resposta: fandangos alpinistas
Resposta: pipoca
Resposta: para acordar em cima da hora.
Resposta: tirar extrato
Resposta: baralho
Resposta: Um doido varrido
Resposta: O gato mia, a Coca- cola light.
Resposta: O Queijo ralado.
Resposta: porque ele não sabe cuspir!!
Resposta: as pessoas irão respoder pinico, mas é bule! hehehe...o bule é meu eu coloco onde quiser! rs
Resposta: O Pé
Resposta: Abacaxi
Resposta: O pé- de- vento!!!
Resposta: OVO
Resposta: Fecha as pernas que eu tô vendo tudo.
Resposta: O Sal
Resposta: O seu colo.
Resposta: O piolho!
Resposta: Vamos dar uma voltinha?
Resposta: Os olhos
Resposta: passar um trote
Resposta: Para ver de perto.
Resposta: Para ver melhor.
Resposta: A sombra
Resposta: O buraco.
Resposta: Nenhum, o cinema estava em construção.
Resposta: a balança
Resposta: A Luz
Resposta: vinho e vinagre
Resposta: O céu da boca
Resposta: A minha mãe
Resposta: O Botão
Resposta: A cama
Resposta: O Pé
Resposta: Raul e luar
Resposta: O pato não põe ovo, quem põe ovo é a pata!
Resposta: O meu nome
Resposta: Porque ele executou um programa.
Resposta: O Pneu.
Resposta: A sílaba "ga"
Quando está madura fica mais gostosa
Resposta: caqui
Estou no início da rua,no fim do mar e no meio da cara?
Resposta: A letra " r"
Se nome rima com beijo.
Resposta: Queijo
Sem ele não tem pão.
Some no inverno
Aparece no verão.
Resposta: O til~
Irá aparecer o nome do animal que é meu maior inimigo
Resposta: Rato
Sempre de noite e de dia
Se teima em ficar parado, só com uma corda andaria
Resposta: O Relógio
Resposta: Peixe não morre afogado
Resposta: O Chapéu
Resposta: Duas,porque uma foi-se
Resposta: Pernas
Resposta: O Pensamento
Resposta: A Fome
Resposta: A vassoura
Resposta: O Sono
Resposta: Costa
Resposta: A boca da noite
Resposta: O Pescoço
Resposta: O CARIOCA.
Resposta: A CERCA.
Resposta: O FUTURO.
Joaozinho e a Matemática
Um professor de Matemática quis pregar uma peça em seus alunos e lhes disse:
- Meninos, aqui vai um problema: Um avião saiu de Amsterdã com uma velocidade de 800 km/h, à pressão de 1.004,5 milibares; a umidade relativa era de 66% e a temperatura 20,4 graus C. A tripulação era composta por 5 pessoas, a capacidade era de 45 assentos para passageiros, o banheiro estava ocupado e havia 5 aeromoças (mas uma estava de folga). A pergunta é... Quantos anos eu tenho?
Os alunos ficam assombrados. O silêncio é total. Então o Joãozinho, de lá do fundo da sala, manda a sua resposta:
- 44 anos, fessor!
O professor, muito surpreso, o olha e diz:
- Caramba, está certo. Eu tenho 44 anos. Mas como adivinhaste?
E Joãozinho:
- Bem,... Eu deduzi porque eu tenho um primo que é meio babaca e ele tem 22 anos!!!!
- Meninos, aqui vai um problema: Um avião saiu de Amsterdã com uma velocidade de 800 km/h, à pressão de 1.004,5 milibares; a umidade relativa era de 66% e a temperatura 20,4 graus C. A tripulação era composta por 5 pessoas, a capacidade era de 45 assentos para passageiros, o banheiro estava ocupado e havia 5 aeromoças (mas uma estava de folga). A pergunta é... Quantos anos eu tenho?
Os alunos ficam assombrados. O silêncio é total. Então o Joãozinho, de lá do fundo da sala, manda a sua resposta:
- 44 anos, fessor!
O professor, muito surpreso, o olha e diz:
- Caramba, está certo. Eu tenho 44 anos. Mas como adivinhaste?
E Joãozinho:
- Bem,... Eu deduzi porque eu tenho um primo que é meio babaca e ele tem 22 anos!!!!
quarta-feira, 5 de outubro de 2011
Crianças
Um homem entra num bar, pede uma bebida, e inicia uma conversa com o empregado de balcão.
Após algumas perguntas, ele fica a saber que o empregado de balcão tem três filhos.
"Que idades têm os seus filhos?" pergunta. "Bem!" responde o empregado, "o produto das suas idades é 72. O homem pensa um bocado e depois diz "precisa de dizer mais qualquer coisa para eu descobrir." "Tem razão," continuou o empregado, "a soma das idades é o número da porta do bar". O homem sai à rua, e quando regressa declara "Ainda não é suficiente...!" O empregado de balcão sorri e diz, " o meu filho mais novo adora gelado de morango." Que idades têm as crianças?
(Uma variante desta charada pode ser efectuada com a soma das idades igual a 13 e o produto igual ao número da porta do bar. Nesta variante, é o filho mais velho que adora gelados. Desta forma, que idades terão?)
postado por daniela
Um homem entra num bar, pede uma bebida, e inicia uma conversa com o empregado de balcão.
Após algumas perguntas, ele fica a saber que o empregado de balcão tem três filhos.
"Que idades têm os seus filhos?" pergunta. "Bem!" responde o empregado, "o produto das suas idades é 72. O homem pensa um bocado e depois diz "precisa de dizer mais qualquer coisa para eu descobrir." "Tem razão," continuou o empregado, "a soma das idades é o número da porta do bar". O homem sai à rua, e quando regressa declara "Ainda não é suficiente...!" O empregado de balcão sorri e diz, " o meu filho mais novo adora gelado de morango." Que idades têm as crianças?
(Uma variante desta charada pode ser efectuada com a soma das idades igual a 13 e o produto igual ao número da porta do bar. Nesta variante, é o filho mais velho que adora gelados. Desta forma, que idades terão?)
postado por daniela
poema da matematica
Todos nós nascemos como resultado
De um sistema de equações.
Acredite mesmo,
Somos o par ordenado mais perfeito da natureza.
Carregamos características de nossos pais y, e de nossas mães x.
Eram milhões de espermatozóides pré-destinados ao óvulo.
Um espaço amostral quase infinito...
Mas você só está aqui hoje, porque era o melhor matemático de lá.
Pois você venceu uma extraordinária probabilidade.
De um sistema de equações.
Acredite mesmo,
Somos o par ordenado mais perfeito da natureza.
Carregamos características de nossos pais y, e de nossas mães x.
Eram milhões de espermatozóides pré-destinados ao óvulo.
Um espaço amostral quase infinito...
Mas você só está aqui hoje, porque era o melhor matemático de lá.
Pois você venceu uma extraordinária probabilidade.
Vivemos em função do tempo
Que nos é dado.
Existem vários tipos de pessoas,
Aquelas que encontram um grande amor e a ele são fiéis
Pela vida toda, são as "injetoras".
Para cada pessoa, existe uma outra correspondente.
Que nos é dado.
Existem vários tipos de pessoas,
Aquelas que encontram um grande amor e a ele são fiéis
Pela vida toda, são as "injetoras".
Para cada pessoa, existe uma outra correspondente.
Dizer que não se entende Matemática
É um absurdo, porque você é um exemplo matemático.
Não importa se não consegue resolver um logaritmo,
Importa o quanto você é capaz
De reconhecer conceitos matemáticos ao seu redor.
É um absurdo, porque você é um exemplo matemático.
Não importa se não consegue resolver um logaritmo,
Importa o quanto você é capaz
De reconhecer conceitos matemáticos ao seu redor.
MAterialize seus sonhos e
TEnha coragem de expor sua
MAneira de encarar a realidade. Ame a
TI mesmo e;
CAminhe sem medo de cair.
TEnha coragem de expor sua
MAneira de encarar a realidade. Ame a
TI mesmo e;
CAminhe sem medo de cair.
Aproveite porque a vida é matemático!!!!!!!!!!
A função exponencial na festa
• Um sujeito entra numa loja de calçados e compra um par que custa R$60,00. Ele paga com uma nota de R$100,00 e como o vendedor não tinha troco, levou o dinheiro para trocar na loja ao lado para trocar e dra o troco para o cliente. Tempo depois de o cliente já ter ido embora, o proprietário da loja ao lado voltou à mesma e pediu seu dinheiro de volta, pois a nota de R$100,00 era falsa. O vendedor pagou o moço e reclamou do prejuízo que tomou. Ate que ele para e se pergunta. Qual meu prejuízo?
postado por Daniela
postado por Daniela
Charadas Matemática
Tente descobrir a resposta dessas adivinhas
1- O que é, que é ? Uma árvore tem doze galhos, cada galho com trinta ninhos, cada ninho com sete passarinhos ?
2- O que é, que é ? São sete irmãos. Cinco têm sobrenome e dois não ?
3- O que é, que é ? É inteiro e tem nome de pedaço ?
4- Quais são as duas meias que juntas não são uma ?
5- Tenho comigo garrafa e meia. Recebi depois garrafa e meia. Poderá você dizer o total que ficou em meu poder ?
6- Quem de dois tira um quantos ficam ?
7- Qual é a diferença entre um ventilador parado e um homem de pé ?
8- Paulo, naquele negócio, ganhou vinte e cinco menos. Quanto ganhou Paulo ?
9- Quatro dúzias de perguntinhas e mais uma, quantas perguntas são ?
10- O matemático chamou o empregado e disse-lhe: “Coloque esses trezentos livros nos cantos desta sala. São quatro cantos e todos devem ficar com o mesmo número par de livros. “
charada
tendo um palito de fosforo, uma vela e um lampião . Em caso de acaba a energia, o que devo cender primeiro?????
a) a vela
b) o lampião
c) o palitode fosforo
d) nenhunha das opições
postado por Gabriela Andrade
a) a vela
b) o lampião
c) o palitode fosforo
d) nenhunha das opições
postado por Gabriela Andrade
quarta-feira, 28 de setembro de 2011
Resumão/física - A conservação de energia
Quem não ouviu a frase do químico francês Antoine Laurent Lavoisier: "Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma"? Na física, aplica-se diretamente ao princípio da conservação de energia.
O conceito de energia, por sua vez, está associado ao estado dos corpos, que são os de movimento (energia cinética), os de separação entre os corpos (energia potencial gravitacional), das deformações sofridas por um corpo (energia elástica), entre outros.
Quando um sistema realiza determinado trabalho num sentido e inverte o sinal num trabalho realizado em sentido oposto, dizemos que esse sistema tem a capacidade de conservar a energia. Isso não é verificado nas forças resistentes, entre as quais se encontram a força de atrito e a resistência do ar.
Nas questões de vestibular, esse assunto é abordado com muita frequência. Portanto torna-se primordial tomar algumas precauções. Antes de resolver uma questão ligada à conservação da energia, verifique quais forças são internas (conservam a energia) e quais são externas (não conservam a energia) ao sistema. Logo após, atenha-se às condições iniciais e finais da energia do sistema.
Em um sistema, a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial gravitacional, e na hipótese de conservação da energia mecânica, essa soma deve ser a mesma no início e no fim.
Num terceiro momento, se a soma proposta não for a mesma, a variação da energia mecânica corresponderá ao trabalho realizado pelas forças resistentes.
Para tornar as resoluções das provas ainda mais complexas, os examinadores costumam acrescentar às questões de conservação de energia um assunto conhecido por sistema isolado. E o que vem a ser isso? Quando um conjunto de corpos assemelhados a pontos materiais não recebe a ação de forças externas, ou seja, não sofre impulsos, dizemos que a quantidade de movimento desse sistema se conservou.
Em outras palavras, a quantidade de movimento antes de acontecer determinado fenômeno fica igual à quantidade de movimento depois de ele ter ocorrido.
Um vestibulando atento deve observar que esses sistemas isolados estão presentes principalmente nas colisões e nas explosões. Uma boa dica é verificar quando o sistema está se portando como conservador da energia e quando esse sistema está conservando a quantidade de movimento. Além dessas verificações importantíssimas, devemos ficar atentos às equações ligadas aos processos descritos. Relembre-as, pratique com muitos exercícios e boa sorte!
postado por Gabriela Andrade
Quem não ouviu a frase do químico francês Antoine Laurent Lavoisier: "Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma"? Na física, aplica-se diretamente ao princípio da conservação de energia.
O conceito de energia, por sua vez, está associado ao estado dos corpos, que são os de movimento (energia cinética), os de separação entre os corpos (energia potencial gravitacional), das deformações sofridas por um corpo (energia elástica), entre outros.
Quando um sistema realiza determinado trabalho num sentido e inverte o sinal num trabalho realizado em sentido oposto, dizemos que esse sistema tem a capacidade de conservar a energia. Isso não é verificado nas forças resistentes, entre as quais se encontram a força de atrito e a resistência do ar.
Nas questões de vestibular, esse assunto é abordado com muita frequência. Portanto torna-se primordial tomar algumas precauções. Antes de resolver uma questão ligada à conservação da energia, verifique quais forças são internas (conservam a energia) e quais são externas (não conservam a energia) ao sistema. Logo após, atenha-se às condições iniciais e finais da energia do sistema.
Em um sistema, a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial gravitacional, e na hipótese de conservação da energia mecânica, essa soma deve ser a mesma no início e no fim.
Num terceiro momento, se a soma proposta não for a mesma, a variação da energia mecânica corresponderá ao trabalho realizado pelas forças resistentes.
Para tornar as resoluções das provas ainda mais complexas, os examinadores costumam acrescentar às questões de conservação de energia um assunto conhecido por sistema isolado. E o que vem a ser isso? Quando um conjunto de corpos assemelhados a pontos materiais não recebe a ação de forças externas, ou seja, não sofre impulsos, dizemos que a quantidade de movimento desse sistema se conservou.
Em outras palavras, a quantidade de movimento antes de acontecer determinado fenômeno fica igual à quantidade de movimento depois de ele ter ocorrido.
Um vestibulando atento deve observar que esses sistemas isolados estão presentes principalmente nas colisões e nas explosões. Uma boa dica é verificar quando o sistema está se portando como conservador da energia e quando esse sistema está conservando a quantidade de movimento. Além dessas verificações importantíssimas, devemos ficar atentos às equações ligadas aos processos descritos. Relembre-as, pratique com muitos exercícios e boa sorte!
postado por Gabriela Andrade
quarta-feira, 31 de agosto de 2011
Aplicações dos logaritmos astronomia/física
A figura a, abaixo, ilustra duas pessoas separadas, de pé, separadas por uma distância de aproximadamente 3 metros. Qual é o valor aproximado da intensidade da força de atração gravitacional entre elas?
Um corpo esférico de massa M = 5 kg está próximo da superfície da terra, cuja massa é M = 6.10(a vigésima quarta potência) kg. Sabendo que o raio da terra é aproximadamente R= 6,4. 10(a sexta potência), calcule o valor aproximado das forças de atração entre a terra e o corpo.
Resolução
A distância d entre o centro da terra e centro do corpo é aproximadamente igual ao raio da terra: d ≈ R. Assim:
Como vemos, é uma força de intensidade muita pequena, de modo que seu efeito é despresível no dia-a-dia, ela não consegue superar a força de atrito estático entre os pés das pessoas e o solo. No entanto, se forem dois astronautas "Fig. B" soutos no espaço e longe da influência de outros corpos, essas forças, embora de pequena intensidade, farão com que, fagarosamente, eles se aproximam. Para que as forças de atração gravitacional tenham intensidades não despresíveis, devemos ter corpos de massa muito grande, como é o caso do Sol e dos planetas.
Um corpo esférico de massa M = 5 kg está próximo da superfície da terra, cuja massa é M = 6.10(a vigésima quarta potência) kg. Sabendo que o raio da terra é aproximadamente R= 6,4. 10(a sexta potência), calcule o valor aproximado das forças de atração entre a terra e o corpo.
Resolução
A distância d entre o centro da terra e centro do corpo é aproximadamente igual ao raio da terra: d ≈ R. Assim:
Suponhamos que a terra seja um corpo esférico, homogênio, de massa M= 5,98.10(vigésima quarta potência) Kg, raio R=6,37. 10(sexta potência) m e que não tenha movimento de rotação.
a) Calcule a aceleração da gravidade num ponto próximo a superfície da terra.
Resolução:
Para um ponto próximo a superfície da terra. Assim, aceleração da gravidade próximo a superfície será:
Um projétil é lançado verticalmente a partir de um ponto da superfície da terra, com velocidade inicial de módulo V=6,5.10³ m/s. Qual é a altura máxima h atingida pelo projétil? São dados: raio da terra = 6,4.10(a sexta potência)m, massa da terra =6,0.10(a vigésima quarta potência) Kg.
Informando sobre Henry Briggs
Henry Briggs nasceu em Warley Wood em morreu em 26 de janeiro de 1631. Henry foi um matemático inglês marcado pela mudança de logarítmos de Napier.
Henry Briggs estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em 1581, e continuou a estudar e obter doutorado em 1588, ele foi professor de Geometria na Universidade Saint - Andrews e mais tarde em Oxford; Portanto ele foi o primeiro a reconhecer a importância da invensão dos logarítmos por Napier, tendo contato com o mesmo para uma troca de idéia para base decimal, depois da morte de Jonh Napier ele cotinou a estudar e desenvover esta teoria, fazendo muitas aplicações na área de astronomia.
Henry Briggs publicou em 1617 um livro intitulado "Logarithmorun Chillios Prima" e mais tarde "Arithemetica Logarithimica", a descoberta dos logarítmos foi muito importante para simplificar os cáuculos trabalhosos da época, principalmente em Astronomia, entre outras, pois através do mesmo podemos transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração e entre outros, facilitando a sobremaneira dos cálculos.
Henry Briggs estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em 1581, e continuou a estudar e obter doutorado em 1588, ele foi professor de Geometria na Universidade Saint - Andrews e mais tarde em Oxford; Portanto ele foi o primeiro a reconhecer a importância da invensão dos logarítmos por Napier, tendo contato com o mesmo para uma troca de idéia para base decimal, depois da morte de Jonh Napier ele cotinou a estudar e desenvover esta teoria, fazendo muitas aplicações na área de astronomia.
Henry Briggs publicou em 1617 um livro intitulado "Logarithmorun Chillios Prima" e mais tarde "Arithemetica Logarithimica", a descoberta dos logarítmos foi muito importante para simplificar os cáuculos trabalhosos da época, principalmente em Astronomia, entre outras, pois através do mesmo podemos transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração e entre outros, facilitando a sobremaneira dos cálculos.
terça-feira, 30 de agosto de 2011
charada
A não ser por pequenas diferenças de formulação, a charada abaixo é idêntica à encontrada no papiro de Rhind, um rolo de pergaminho egípcio contendo tabelas matemáticas e problemas, copiados pelo escriba Ahmes em torno de 1.650 a.C.
"Quando estava indo para St. Ives, encontrei um homem com sete esposas. Cada esposa possuía sete sacos e em cada saco havia sete gatos. Cada gato tinha sete filhotes. Se contarmos os filhotes, os gatos, os sacos e as esposas quantos estavam indo para St. Ives ? "
E você saberia responder esta charada ???
"Quando estava indo para St. Ives, encontrei um homem com sete esposas. Cada esposa possuía sete sacos e em cada saco havia sete gatos. Cada gato tinha sete filhotes. Se contarmos os filhotes, os gatos, os sacos e as esposas quantos estavam indo para St. Ives ? "
E você saberia responder esta charada ???
segunda-feira, 29 de agosto de 2011
continuação
SOLUÇÃO:
Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 520 = 20.log5
Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.
4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
SOLUÇÃO:
Temos: 10x + 0,4658 = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658 \ x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 102 = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658 Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resp: 21
5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log52
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)
Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resp: 30N = 80
Agora, resolva estes:
1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53 .
, então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097
2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2 -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35
3 - UCSal - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)
5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1.
Resp: 4
6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90
7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2
8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2 ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)
Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 520 = 20.log5
Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.
4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
SOLUÇÃO:
Temos: 10x + 0,4658 = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658 \ x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 102 = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658 Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resp: 21
5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log52
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)
Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resp: 30N = 80
Agora, resolva estes:
1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53 .
, então o logx é:*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097
2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2 -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35
3 - UCSal - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)
5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1.
Resp: 4
6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90
7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2
8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2 ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)
a descoberta de henry briggs
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.
Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.
Outros exemplos:
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0
2 - DEFINIÇÃO
Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.
Notas:
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
101,6532 = 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.
P3) logbbk = k , porque bk = bk .
P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.
3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk = k.logbM.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.
P4 - MUDANÇA DE BASE
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.
Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.
Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logba . logab = 1
Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.
Outros exemplos:
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0
2 - DEFINIÇÃO
Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.
Notas:
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
101,6532 = 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.
P3) logbbk = k , porque bk = bk .
P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.
3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk = k.logbM.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.
P4 - MUDANÇA DE BASE
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.
Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.
Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logba . logab = 1
Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
sexta-feira, 26 de agosto de 2011
aplicações de log na fisíca
PROBLEMA 3 No átomo de hidrogênio, a distância média entre o elétroneop rótonéd ea proximadamente 0,5 A. Calcule a razão entre as atrações coulombiana e gravitacional das duas partículas no átomo. A que distância entre oe létroneop rótons ua atraçãoc oulombiana se tornaria igual à atração gravitacional existente entre eles no átomo? Compare o resultado com a distância Terra-Lua.
dadas por
FepG G memp
Portanto,
por gabriela, daniela, e janaína amorim
por gabriela, daniela, e janaína amorimquinta-feira, 18 de agosto de 2011
responda se consigue
Existe um numero x diferente de 10,tal que o dobro do seu logaritimo excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. determine x.
POSTADO POR GABRIELA
POSTADO POR GABRIELA
quarta-feira, 10 de agosto de 2011
Equações
1º - Resolva as equações
a) Log x + 4 + log x-4=2. log3
b) Log x/3 - 1 + log 2x/3 + 1 - log x/3 - 3 = 3
c) Log x²/2 + 2x - 7 - log x/2 - 1 = 2
2º - O valor de x, tal que log 4x/3 + 7 = 5 é:
3º - O conjunto da solução da equação 2. log x = log 4 + log x + 3 é:
a) Log x + 4 + log x-4=2. log3
b) Log x/3 - 1 + log 2x/3 + 1 - log x/3 - 3 = 3
c) Log x²/2 + 2x - 7 - log x/2 - 1 = 2
2º - O valor de x, tal que log 4x/3 + 7 = 5 é:
3º - O conjunto da solução da equação 2. log x = log 4 + log x + 3 é:
Por Daniela
Charadas
* Quantas pessoas normais podem dormir na pista de um aeroporto?
* Alguns meses tem 30 dias, outros 31. Quantos tem 28?
* Se você olhasse dentro de uma caixa de fósforos e só tivesse um palito e você estivesse dentro de um quarto escuro escuro e frio com um galão de gasolina, lenha e um lampião. O que você acenderia primeiro?
* Você dirige um ônibus com 18 passageiros. Larga os 18 e pega mais 12 e os leva até Vitória, chegando as 8:30h do dia seguinte. Qual o nome do motorista?
* Alguns meses tem 30 dias, outros 31. Quantos tem 28?
* Se você olhasse dentro de uma caixa de fósforos e só tivesse um palito e você estivesse dentro de um quarto escuro escuro e frio com um galão de gasolina, lenha e um lampião. O que você acenderia primeiro?
* Você dirige um ônibus com 18 passageiros. Larga os 18 e pega mais 12 e os leva até Vitória, chegando as 8:30h do dia seguinte. Qual o nome do motorista?
Por Daniela
sexta-feira, 17 de junho de 2011
charada
Em um navio pirata há um certo número de gatos, vários piratas, o cozinheiro e o capitão perneta (pelo fato de ter somente uma perna) todos eles somam quinze cabeças e quarenta e uma pernas. quantos gatos há no navio?
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