Aplicações dos logaritmos astronomia/física

A figura a, abaixo, ilustra duas pessoas separadas, de pé, separadas por uma distância de aproximadamente 3 metros. Qual é o valor aproximado da intensidade da força de atração gravitacional entre elas?

Como vemos, é uma força de intensidade muita pequena, de modo que seu efeito é despresível no dia-a-dia, ela não consegue superar a força de atrito estático entre os pés das pessoas e o solo. No entanto, se forem dois astronautas "Fig. B" soutos no espaço e longe da influência de outros corpos, essas forças, embora de pequena intensidade, farão com que, fagarosamente, eles se aproximam. Para que as forças de atração gravitacional tenham intensidades não despresíveis, devemos ter corpos de massa muito grande, como é o caso do Sol e dos planetas.

Um corpo esférico de massa M = 5 kg está próximo da superfície da terra, cuja massa é M = 6.10(a vigésima quarta potência) kg. Sabendo que o raio da terra é aproximadamente R= 6,4. 10(a sexta potência), calcule o valor aproximado das forças de atração entre a terra e o corpo.
Resolução
A distância d entre o centro da terra e centro do corpo é aproximadamente igual ao raio da terra: d ≈ R. Assim:



Suponhamos que a terra seja um corpo esférico, homogênio, de massa M= 5,98.10(vigésima quarta potência) Kg, raio R=6,37. 10(sexta potência) m e que não tenha movimento de rotação.

a) Calcule a aceleração da gravidade num ponto próximo a superfície da terra.

Resolução: 

Para um ponto próximo a superfície da terra. Assim, aceleração da gravidade próximo a superfície será: 

 Um projétil é lançado verticalmente a partir de um ponto da superfície da terra, com velocidade inicial de módulo V=6,5.10³ m/s. Qual é a altura máxima h atingida pelo projétil? São dados: raio da terra = 6,4.10(a sexta potência)m, massa da terra =6,0.10(a vigésima quarta potência) Kg.



Informando sobre Henry Briggs

Henry Briggs nasceu em Warley Wood em morreu em 26 de janeiro de 1631. Henry foi um matemático inglês marcado pela mudança de logarítmos de Napier.

Henry Briggs estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em 1581, e continuou a estudar e obter doutorado em 1588, ele foi professor de Geometria na Universidade Saint - Andrews e mais tarde em Oxford; Portanto ele foi o primeiro a reconhecer a importância da invensão dos logarítmos por Napier, tendo contato com o mesmo para uma troca de idéia para base decimal, depois da morte de Jonh Napier ele cotinou a estudar e desenvover esta teoria, fazendo muitas aplicações na área de astronomia.

Henry Briggs publicou em 1617 um livro intitulado "Logarithmorun Chillios Prima" e mais tarde "Arithemetica Logarithimica", a descoberta dos logarítmos foi muito importante para simplificar os cáuculos trabalhosos da época, principalmente em Astronomia, entre outras, pois através do mesmo podemos transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração e entre outros, facilitando a sobremaneira dos cálculos.

charada

A não ser por pequenas diferenças de formulação, a charada abaixo é idêntica à encontrada no papiro de Rhind, um rolo de pergaminho egípcio contendo tabelas matemáticas e problemas, copiados pelo escriba Ahmes em torno de 1.650 a.C.

"Quando estava indo para St. Ives, encontrei um homem com sete esposas. Cada esposa possuía sete sacos e em cada saco havia sete gatos. Cada gato tinha sete filhotes. Se contarmos os filhotes, os gatos, os sacos e as esposas quantos estavam indo para St. Ives ? "

E você saberia responder esta charada ???

continuação

SOLUÇÃO:
Seja n = 5²⁰ . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 5²⁰ = 20.log5
Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.
4 - UFBA - Considere a equação 10^{x + 0,4658} = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
SOLUÇÃO:
Temos: 10^{x + 0,4658} = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658 \ x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 10² = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658 Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resp: 21
5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log5²
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)
Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resp: 30N = 80
Agora, resolva estes:
1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 5³ . , então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097
2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x² -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35
3 - UCSal - Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)
5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log₂ (x-3) + log₂ (x-2) = 1.
Resp: 4
6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90
7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2
8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x² - y² ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x² - y² = (x - y) (x + y)

a descoberta de henry briggs

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.
Assim, por exemplo, como sabemos que 4² = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log₄16 = 2.
Outros exemplos:
15² = 225, logo: log₁₅225 = 2
6³ = 216, logo: log₆216 = 3
5⁴ = 625, logo: log₅625 = 4
7⁰ = 1, logo: log₇1 = 0
2 - DEFINIÇÃO
Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos:
a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9.
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.
Notas:
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100.
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183...
f) ln 7 = log_e7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
10^1,6532 = 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
log_b1 = 0 porque b⁰ = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.
P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .
P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.
3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10^-1,6990 = 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.
P4 - MUDANÇA DE BASE
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos:
a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)
b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)
c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.
Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) log_ba . log_ab = 1
Exemplos:
a) log₃7 . log₇3 = 1
b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

aplicações de log na fisíca

 PROBLEMA 3 No átomo de hidrogênio, a distância média entre o elétroneop rótonéd ea proximadamente 0,5 A. Calcule a razão entre as atrações coulombiana e gravitacional das duas partículas no átomo. A que distância entre oe létroneop rótons ua atraçãoc oulombiana se tornaria igual à atração gravitacional existente entre eles no átomo? Compare o resultado com a distância Terra-Lua.

dadas por

FepG  G memp

Portanto,

                   por gabriela, daniela, e janaína amorim

    POR GABRIELA

                                                                                                 POR GABRIELA

                                            POR GABRIELA,DANIELA E JANAÍNA AMORIM

EQUAÇÕES

DERTEMINE O VALOR DE X QUE SATISFAZ Á  EQUAÇÃO LOG2 (X-3) + LOG2(X-2)=1





                                           POR JANAINA AMORIM

                                              POR GABRIELA

                                                                                POR GABRIELA

                                                                                   POR GABRIELA

EQUAÇÕES

POR GABRIELA

responda se consigue

Existe um numero x diferente de 10,tal que o dobro  do seu logaritimo excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. determine x.




POSTADO POR GABRIELA

Equações

1º - Resolva as equações

a) Log x + 4 + log x-4=2. log3

b) Log x/3 - 1 + log 2x/3 + 1 - log x/3 - 3 = 3

c) Log x²/2 + 2x - 7 - log x/2 - 1 = 2

2º - O valor de x, tal que log 4x/3 + 7 = 5 é:

3º - O conjunto da solução da equação 2. log x = log 4 + log x + 3 é:

Por Daniela

Charadas

* Quantas pessoas normais podem dormir na pista de um aeroporto?

* Alguns meses tem 30 dias, outros 31. Quantos tem 28?

* Se você olhasse dentro de uma caixa de fósforos e só tivesse um palito e você estivesse dentro de um quarto escuro escuro e frio com um galão de gasolina, lenha e um lampião. O que você acenderia primeiro?

* Você dirige um ônibus com 18 passageiros. Larga os 18 e pega mais 12 e os leva até Vitória, chegando as 8:30h do dia seguinte. Qual o nome do motorista?

Por Daniela